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题目： 某商店购进一种商品，进价 45 元/件。如果按售价的八折卖出，每件仍可获利 20 元。问这种商品的售价是多少？（列方程）
解析：
设这种商品的售价为 $x$ 元。
根据题意可知：
1. 成本部分为 45 元；
2. 利润部分为进价与成本的差值，即 $(x - 45)$ 元；
3. 售价的八折表示实际售价为 $0.8x$ 元；
4. 获利 20 元意味着：售价减去成本等于利润。
据此可列方程：
$$ x - (x - 45) = 20 $$
解此方程：
$$ x - x + 45 = 20 $$
$$ 45 = 20 $$
发现矛盾： 在常规算术逻辑下，售价减去成本等于利润会导致价格恒为 20 元，这与题目中“获利”的描述不符。重新审视题意，“按售价的八折卖出”意味着实际卖出的单价是原售价的 80%。若原售价为 $x$，则折扣后卖出的单价为 $0.8x$。成本不变仍为 45 元。利润定义为：售价 - 成本 = 获利。
$$ 0.8x - 45 = 20 $$
$$ 0.8x = 65 $$
$$ x = \frac{65}{0.8} $$
$$ x = 81.25 $$
答： 这种商品的售价为 81.25 元。此时，按八折（即 $81.25 \times 0.8 = 65$ 元）出售，成本为 45 元，利润为 $65 - 45 = 20$ 元，符合题意。
题目： 一辆客车从 A 地出发，到 B 地原速行驶了全程的 $\frac{3}{4}$，此时距终点还有 18 千米，客车还需 60 分钟才能到达 B 地。已知客车原速为 $v$，速度差（即路程）为 $d$，求路程差和所需时间。
解析：
设 A、B 两地距离为 $S$ 千米。
1. 计算剩余路程： 客车行驶了 $\frac{3}{4}S$，剩余路程为 $S - \frac{3}{4}S = \frac{1}{4}S$。
2. 统一单位： 将时间单位换算成分钟（60 分钟）。
3. 建立方程： 在距离 $S$ 千米处，客车剩余 $\frac{1}{4}S$ 千米需要的时间为 $t_{rem}$。已知此时距离终点还有 18 千米，且还需要 60 分钟。这意味着：剩余路程 $\times$ 速度 = 时间 $\times$ 速度？不对，这是行程问题中的“比例关系”。
更准确的模型：
设客车原速为 $v$。
在距终点 18 千米处，客车走了全程的 $\frac{3}{4}$，用时 $t_1$。
此时距离终点还有 $\frac{1}{4}S$ 千米，用时 $t_{rem}$。
因为路程与速度成正比（在恒定时间内），所以：
$$ \frac{18}{v} = \frac{\frac{1}{4}S}{v} $$
消去 $v$ 得：
$$ 18 = \frac{1}{4}S \implies S = 72 \text{ km} $$
计算时间：
在距终点 18 千米处，客车走了 $\frac{3}{4} \times 72 = 54$ 千米。
剩余路程是 $72 - 54 = 18$ 千米。
速度差（即全程距离）为 72 千米。
在 60 分钟内，客车行驶了全程的 $\frac{3}{4}$，即 $v \times 60 / 4 = 1.5v$。
这 18 千米对应的时间是 60 分钟。
所以，剩余路程（18km）对应的时间也是 60 分钟。
验证：
客车速度 $v=72/60=1.2$ km/min。
在距终点 18km 处（即原全程的 $\frac{3}{4}$），用时 60 分钟，行驶距离 $1.2 \times 60 = 72$ km？不对。
修正模型：
设时间 $t=60$ 分钟。
路程 $S_{rem} = S - 54 = 18 \implies S = 72$ km。
速度 $v = 72 / 60 = 1.2$ km/min。
在距终点 18km 处，客车走了 $1.2 \times 60 = 72$ km？不对，路程差是 72 km。
重新梳理逻辑：
A -> B (72 km)
已走 54 km，剩 18 km。
速度：全程 72 km / 60 min = 1.2 km/min。
在距终点 18 km 处（即走了 $72 \times \frac{3}{4} = 54$ km），用时 60 min。
剩余路程 18 km，对应的时间是 60 min。
这意味着：在相同时间内，行驶相同距离？是的，因为时间相同，距离也相同。
结论： 这是一个特殊的行程问题，关键在于理解“速度差”与“时间差”的关系。这里时间 $t_1$ 和 $t_{rem}$ 相同（都是 60 分钟），但路程不同（54 km 和 18 km）。
根据比例关系：$\frac{S - 54}{v} = \frac{18}{v}$，两边约去 $v$ 得 $S-54=18$。
最终答案：
路程差为 72 千米，所需时间为 60 分钟。
题目： 把 $\frac{1}{3}$ 化为小数，$\frac{2}{5}$ 化为百分数。
解析：
1. 分数化小数：
$$ \frac{1}{3} = \frac{10}{30} = \frac{10}{30} \times 10\% = 10\% $$
（分母为 3，分子为 10，即 $10/30$）
2. 分数化百分数：
$$ \frac{2}{5} = \frac{20}{50} = \frac{20}{50} \times 100\% = 40\% $$
答： $\frac{1}{3}$ 是 0.333...（或 $10\%$），$\frac{2}{5}$ 是 40%。
题目： 计算：$\frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{3} \times 2$ （注：原题表述为 $\frac{1}{3} \times 2$，此处根据上下文推断）。
或者更常见的分式运算题：$\frac{4}{7} - \frac{1}{7} = ?$
假设题目为求两个分式的差：
$$ \frac{4}{7} - \frac{1}{7} $$
通分：
$$ \frac{4-1}{7} = \frac{3}{7} $$
另一种常见题型： $\frac{2}{5} \times 3 + \frac{1}{5} \times 2$
计算过程：
$$ (\frac{2}{5} \times 3) + (\frac{1}{5} \times 2) = \frac{6}{5} + \frac{2}{5} = \frac{8}{5} $$
答： $\frac{3}{7}$（若题目为 $4/7 - 1/7$），或者 $\frac{8}{5}$（若题目为两算式相加）。请根据具体数值选择。通常此类题目考察分数的加减运算法则。此处按标准加减法展示：$\frac{4-1}{7} = \frac{3}{7}$。
题目： 一个长方形的长是 8 厘米，宽是 4 厘米。
(1) 求面积；
(2) 如果将长方形分割成两个完全一样的三角形，求每个三角形的面积。（已知其中一个三角形的底和高分别为 x, y）
解析：
1. 长方形面积公式： $S_{rect} = \text{长} \times \text{宽}$
$$ S = 8 \times 4 = 32 \text{ cm}^2 $$
2. 三角形分割后的关系：
如果两个三角形拼成长方形，说明它们的底之和等于长方形的长（8cm），高之和等于长方形的宽（4cm）。
设其中一个三角形的底为 $b_1$，高为 $h_1$。
另一个三角形的底为 $b_2 = 8 - b_1$，高为 $h_2 = 4 - h_1$。
面积相等：$\frac{1}{2} \times b_1 \times h_1 = \frac{1}{2} \times (8-b_1) \times (4-h_1)$
化简：$b_1 h_1 = (8-b_1)(4-h_1)$
$b_1 h_1 = 32 - 8h_1 - 4b_1 + b_1 h_1$
消去 $b_1 h_1$：$0 = 32 - 8h_1 - 4b_1 \implies 4b_1 + 8h_1 = 32 \implies b_1 + 2h_1 = 8$。
这说明分割后两个三角形的高之和等于长方形的宽（4cm），底之和等于长方形的长（8cm）。这与题目描述“完全一样的三角形”一致。
计算单个三角形面积：
取 $b_1 = 4, h_1 = 2$（满足 $4+2\times2=8$）：
$$ S_{triangle} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 $$
面积和为 32，每个三角形面积为 4。
答： 单个三角形的面积为 4 平方厘米；总面积为 32 平方厘米。
题目： 计算 $\frac{1}{3} \div \frac{1}{4}$。
解析：
$$ \frac{1}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \times 4 $$
$$ = \frac{4}{3} $$
答： $\frac{4}{3}$。
题目： 甲、乙两队合作 6 小时完成了某项工程。如果只由甲队工作 2 小时，还需要多少小时才能完成？
解析：
1. 工程总量设为单位 1。
甲队每小时效率：$v_甲$；乙队每小时效率：$v_乙$。
总时间 $T = 6$ 小时，所以 $v_甲 \times 6 + v_乙 \times 6 = 1$。
2. 只由甲队工作 2 小时：
甲队完成的工作量：$w_甲 = v_甲 \times 2$。
3. 剩余工作量： $1 - w_甲 = 1 - 2v_甲$。
4. 所需时间： $t_{rem} = \frac{1 - 2v_甲}{v_甲}$ （单位：小时）。
结论：
由于题目未给出具体数值，无法计算出具体的小时数。答案应表示为含 $v_甲$ 的表达式：$\frac{1}{6} - \frac{v_甲}{3}$ 或 $\frac{1}{3}(1 - 2v_甲)$。
答： 还需要 $\frac{1-2v_甲}{v_甲}$ 小时（其中 $v_甲$ 为甲队的工作效率）。若需具体数值，需提供甲队工作效率。
本系列文章紧扣《五年级数学暑假作业》主题，涵盖了方程、分数运算、几何面积、比例等核心知识点。
重点掌握： 列方程解应用题（关注利润、行程）、分数的加减乘除、长方形的分割与面积计算。
学习方法： 建议先画图理解题意，再尝试列出算式；对于工程问题，建议使用“份数法”或“单位工作法”。
错题复盘： 建议结合课本例题进行针对性练习，如《2023 暑假作业答案》中的经典题型。
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