导数题范文
题目：已知函数 \( f(x) = 3x^2 4x + 5 \)，求 \( f'(x) \)。
解题过程：
1. 定义导数：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，可以通过极限的方法来定义。
2. 计算导数：根据导数的定义，\( f'(x) \) 可以通过下面的极限公式来计算：
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) f(x)}{h}
\]
3. 应用导数公式：对于给定的函数 \( f(x) = 3x^2 4x + 5 \)，我们需要计算 \( f(x+h) \)：
\[
f(x+h) = 3(x+h)^2 4(x+h) + 5
\]
展开并简化得到：
\[
f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) 4x 4h + 5 = 3x^2 + 6xh + 3h^2 4x 4h + 5
\]
4. 代入公式：将 \( f(x+h) \) 和 \( f(x) \) 代入导数公式中，并简化：
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 + 6xh + 3h^2 4x 4h + 5 (3x^2 4x + 5)}{h}
\]
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{6xh + 3h^2 4h}{h}
\]
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h 4)
\]
5. 求极限：由于 \( h \) 趋近于 0，\( 3h \) 和 \( 4h \) 都将趋近于 0，因此：
\[
f'(x) = 6x 4
\]
答案：函数 \( f(x) = 3x^2 4x + 5 \) 的导数 \( f'(x) \) 为 \( 6x 4 \)。
与标题“导数题”相关的常见问答知识清单及解答
1. 问：什么是导数？
答：导数是函数在某一点的瞬时变化率，用来描述函数曲线在该点的切线斜率。
2. 问：如何求一个函数的导数？
答：可以通过导数的定义，即利用极限的方法来计算导数。
3. 问：导数有几种基本计算法则？
答：导数的基本计算法则包括幂法则、乘积法则、商法则和链式法则。
4. 问：什么是幂法则？
答：幂法则是求幂函数导数的法则，即 \( (x^n)' = nx^{n1} \)。
5. 问：什么是乘积法则？
答：乘积法则是求两个函数乘积的导数的法则，即 \( (uv)' = u'v + uv' \)。
6. 问：什么是商法则？
答：商法则是求两个函数商的导数的法则，即 \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v uv'}{v^2} \)。
7. 问：什么是链式法则？
答：链式法则是求复合函数导数的法则，即 \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
8. 问：导数在物理学中有何应用？
答：在物理学中，导数用于描述速度、加速度、位移等物理量的变化率。
9. 问：导数在经济学中有何应用？
答：在经济学中，导数用于分析成本函数、收益函数和利润函数的变化率。
10. 问：导数在工程学中有何应用？
答：在工程学中，导数用于分析和设计系统的动态行为，如振动、温度变化等。
